You are here:
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

FIZMATIK.RU

Физико-математическая наука

Логарифмические неравенства

 

Простейшими логарифмическими неравенствами являются неравенства вида
\[
\log _a x>b,  \mbox{   (1)}
\]
\[
\log _a x<b, \mbox{   (2)}
\]
где $a$ и $b$ - некоторые действительные числа $(a>0,a\ne 1)$.



В зависимости от значений $a$ множества решений неравенства (1) будут следующими:

1) при $a>1 \quad x\in (a^b;+\infty )$;

2) при $0<a<1 \quad x\in (0;a^b)$;



а неравенства (2):

1) при $a>1 \quad x\in (0;a^b)$;

2) при $0<a<1 \quad x\in (a^b;+\infty )$



Неравенства вида (1), (2) могут быть обобщены на случай, когда аргументом логарифмической функции является некоторая функция $f(x)$. Так, например, логарифмическое неравенство вида $\log _a f(x)>b$ эквивалентно следующим системам неравенств:

1) при $a>1$
\[
f(x)>0,
\quad
f(x)>a^b
\]
2) при $0<a<1$
\[
f(x)>0,
\quad
f(x)<a^b
\]

 

Неравенство вида $\log _a f(x)<b$ эквивалентно следующим системам неравенств:

1) при $a>1$
\[
f(x)>0,
\quad
f(x)<a^b
\]
2) при $0<a<1$
\[
f(x)>0,
\quad
f(x)>a^b
\]
Более сложные логарифмические неравенства сводятся к неравенствам вида (1), (2) методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.

Так, например, множество решений неравенства вида
\[
P(\log _a x)>0 \mbox{   (3)}  \]
а также неравенств $P<0,  P\ge 0,  P\le 0$, где $P$ - многочлен указанного аргумента, находится следующим образом: вводятся новая неизвестная $a=\log _a x$ и неравенство (3) решается как алгебраическое относительно неизвестной $y$. После этого решение исходного неравенства сводится к решению соответствующих простейших неравенств (1), (2) или систем этих неравенств.

 

В заключение отметим еще один часто встречающийся тип логарифмических неравенств, в которых как основание логарифма, так и аргумент логарифма являются функциями неизвестной $x$. Таким логарифмическим неравенством будет, например, неравенство
\[
\log _{g(x)} f(x)>c,\mbox{   (4)}
\]
где $f(x)$ и $g(x)$ - некоторые многочлены, а $c$ - некоторое действительное число. Множество допустимых значений неизвестной $x$ находится как множество решений системы
\[
f(x)>0,
\quad
g(x)>0,
\quad
g(x)\ne 1
\]
Логарифмическое неравенство (4) эквивалентно двум системам алгебраических неравенств:
\[
f(x)>0,   g(x)>1,   f(x)>\left[ {g(x)} \right]^c\quad ;
\]
\[
f(x)>0,   0<g(x)<1,   f(x)<\left[ {g(x)} \right]^c.
\]

 

Конспекты занятий в детском саду на сайте osadik.ru