You are here:
  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

FIZMATIK.RU

Физико-математическая наука

Вписанные и описанные треугольники

 

Вписанные треугольники


Треугольник, все вершины которого принадлежат окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность - описанной около этого треугольника. Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр описанной около треугольника окружности - точка пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам этого треугольника и проходящих через их середины; он лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если треугольник тупоугольный; на середине гипотенузы, если треугольник прямоугольный.

Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, вычисляется по формулам
\[
R=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{\sin
\beta }=\frac{1}{2}\cdot \frac{c}{\sin \gamma }
\]
\[
R=\frac{abc}{4S_\Delta }=\frac{abc}{4\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} }
\]
$a,b,c\quad -$ стороны треугольника, $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ - полупериметр, $S_\Delta $ - площадь треугольника, $\alpha ,\beta ,\gamma $ - углы треугольника, лежащие против сторон $a,b,c$ соответственно.

 

Описанные треугольники

Треугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность - вписанной в этот треугольник.

Во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр $O$ вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус окружности, вписанной в произвольный треугольник, вычисляется по формуле
\[
r=\frac{S_\Delta }{p}=\sqrt {\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
\]

 

Соотношения между сторонами правильного и прямоугольного треугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей

Сторона правильного треугольника а связана с радиусом описанной окружности $R$ и радиусом вписанной окружности $r$ соотношениями
\[
R=\frac{a\sqrt 3 }{3},     r=\frac{a\sqrt 3 }{6},
\]
Центр вписанной в правильный треугольник окружности совпадает с центром описанной около него окружности и называется центром правильного треугольника.


Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и, следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Все точки окружности с диаметром $AB$ (за исключением точек $A$ и $B)$ являются вершинами прямоугольных треугольников с гипотенузой $AB$ (рис. 1).

 

Конспекты занятий в детском саду на сайте osadik.ru